궁금해? 궁금해! 수학 ① 종이를 몇 번 접으면 달까지 닿을까?

07 유리수? 무리수? 수의 종류에는 무엇이 있을까?

08 컴퓨터와 관련된 숫자에는 왜 8의 배수가 많을까?

09 1보다 작은 수를 나타내는 ‘소수’는 누가 발견했을까?

10 천, 만, 억, 조… 이것보다 큰 단위는?

11 완전? 친화? 부부? 약수에 숨겨진 법칙

12 셰에라자드 수? 소정산? 사칙연산의 신기한 법칙

13 미터와 같은 거리 단위는 언제, 누가 결정했을까?

14 인치, 피트, 마일…, 미국은 미터를 싫어한다?

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ① 지구를 감싼 밧줄을 지면에서 1m 띄울 때 필요한 길이는?

15 직선에도 다양한 종류가 있다? 직선과 도형의 개념

16 삼각형, 사각형, 원의 특징과 넓이를 구하는 방법은?

17 삼각형을 구하는 방법은 언제 발명되었을까?

18 피타고라스의 정리란? 우선 ‘정리’란 무엇일까?

19 아르키메데스가 고안한 스토마키온이란?

궁금해? 궁금해! 수학 ② 지도를 구분해서 칠하려면 최소 몇 가지 색이 필요할까?

20 꿀벌의 집은 왜 정육각형 모양일까?

21 홀 케이크를 5등분하는 방법은?

22 원주율은 누가, 어떻게 발견해 계산했을까?

23 옛날 사람은 지구 둘레를 어떻게 계산했을까?

24 초승달 모양의 넓이 계산? ‘히포크라테스의 정리’

25 무한으로 존재한다? 소수는 어떤 수?

26 방대한 자릿수의 소수를 구하는 공식이 존재할까?

27 오일러? 리만? 소수에 도전한 수학자

28 찾기 힘든 소수, 소수는 어디에 사용할까?

수학의 위인 ① 아르키메데스

제2장 그렇구나! 하고 알게 되는 수학의 구조

29 플라톤 다면체란 어떤 입체일까?

30 축구공은 왜 그런 모양으로 만들었을까?

31 아름다운 수학의 정리? 오일러의 다면체 공식

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ② 오려 붙이니 넓이가 달라졌다? ‘신기한 직각삼각형’

32 곡선의 종류에는 무엇이 있을까?

33 건축에 이용된다? 현수선이란?

34 최고속도로 물체가 떨어진다? 사이클로이드 곡선이란?

35 고속도로 커브는 몸에 친절한 곡선?

36 아름다운 비율 황금비, 어떤 비율일까?

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ③ 늑대, 염소, 양배추를 강 건너편으로 옮기려면?

37 신비한 숫자의 배열? 피보나치 수열이란?

38 아리스토텔레스의 바퀴 역설이란?

39 배가 진행하는 경로는 어떻게 측정할까?

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ④ 논리적 사고를 시험하는 ‘왕복 평균속도’ 문제

40 왜 소라 껍데기는 나선무늬일까?

41 나선에는 어떤 다양한 종류가 있을까?

42 상자 속에 가장 많은 공을 채우는 방법은?

43 집합을 나타낸다? 벤다이어그램의 의미와 보는 방법

수학의 위인 ② 레온하르트 오일러

제3장 기상천외! 수학의 신기한 세계

44 정사각형으로만 분해하는 완전 정사각형 분할이란?

45 도로 표지판에 급경사는 무엇을 나타낼까?

46 사인 법칙? 코사인 법칙? 무엇을 구하는 법칙일까?

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ⑤ 찢어진 페이지는 몇 페이지? 의외로 알기 쉬운 ‘총합 문제’

47 한붓그리기가 가능한 도형, 오일러 그래프란?

48 체스판의 모든 칸에 말을 1번씩만 놓는 방법?

49 1>0.9999…가 아니라, 1=0.9999…가 맞다?

50 무한의 겉넓이와 유한의 부피를 가진 도형?

궁금해? 궁금해! 수학 ③ 무한한 방이 있지만 만실. 새 무한의 손님을 받을 수 있을까?

51 아킬레스는 왜 거북이를 따라잡지 못할까?

52 아름다운 수학 패턴, 파스칼의 삼각형이란?

53 소수를 정다각형으로 작도할 수 있을까?

54 ‘이각형’이 가능할까? 구의 신기한 성질

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ⑥ 직감적으로 납득할 수 없다? ‘몬티 홀 문제’

55 로열 스트레이트 플러시가 나올 확률은?

56 숫자 형식의 복권, 당첨될 확률은?

57 주사위 눈의 평균? 대수의 법칙이란?

궁금해? 궁금해! 수학 ④ 23명의 팀에 생일이 같은 사람이 있을 확률은 몇 %?

57 원숭이가 『햄릿』을 쓴다고? 무한 원숭이 정리란?

59 도레미파솔라시도는 숫자로 만들어졌다?

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ⑦ 바이러스 검사는 확실할까? 양성검사의 역설

수학의 위인 ③ 카를 프리드리히 가우스

제4장 내일 이야기하고 싶어지는 수학 이야기

60 통계는 신용할 수 있을까? 심슨의 역설

61 부분과 전체가 같은 모양? 프랙탈 도형이란?

62 게임 이론이란 무엇을 위한 이론일까?

궁금해? 궁금해! 수학 ⑤ 언쟁하는 세 여신 중 가장 아름다운 여신은 누구?

63 수학적으로 4차원이란 무엇을 의미할까?

64 지도상의 넓이를 바로 알 수 있을까? 픽의 정리

65 안과 밖이 없는 신기한 고리, 뫼비우스의 띠란?

66 컵과 도넛이 같다? 위상수학 생각

알쏭달쏭! 수학 퀴즈 ⑧ 풀면 세상이 끝난다? 수학 퍼즐 하노이의 탑

67 우주의 형태를 알 수 있다? 푸앵카레 추측이란?

68 수학에서 중요한 정수 네이피어 수란?

69 뽑기에 당첨될 확률을 네이피어 수로 알 수 있다?

70 세계를 수식화? 함수와 좌표의 구조

71 미분이란 무엇일까? 무엇을 구하는 것일까?

72 적분이란 무엇일까? 무엇을 구하는 것일까?

73 300년 이상 풀리지 않았다? 페르마의 마지막 정리

74 허수는 어떤 수이고, 무엇에 이용할까?

75 인류의 보물? 오일러 등식

76 수학계의 노벨상, 필즈상이란?

신기하고 아름다운 도형의 정리 15

참고문헌

바닥에 타일을 깔듯 평면에 정다각형을 틈 없이 꽉 채우려면 정삼각형, 정사각형, 정육각형 이 세 종류만 사용해야 한다. 평면을 꽉 채우기 위해서는 정다각형의 내각을 모두 합쳐 360°가 되어야 하기 때문이다. 또한 1㎠를 만드는데 필요한 둘레는 정삼각형은 약 4.5㎝, 정사각형은 4㎝이지만, 정육각형은 약 3.72㎝다. 즉, 세 종류 중에서 가장 짧은 길이로 넓은 공간을 만들어 내는 것은 정육각형이다.

20 꿀벌의 집은 왜 정육각형 모양일까?

나선은 종류가 다양한데 자연계에서 많이 나타나는 나선은 ‘로그 나선’이다. 로그 나선은 등각 나선이라고도 하며, 중심에서 뻗은 직선과 만나는 점의 접선이 만드는 각도가 항상 일정하다. 수학자 야코프 베르누이가 자세하게 연구해서 베르누이의 나선이라고도 부른다. 로그 나선은 어떤 배율로 확대하거나 축소해도 회전시키면 원래의 나선과 같아진다.

40 왜 소라 껍데기는 나선무늬일까?

한붓그리기의 포인트는 모든 점에서 짝수 개의 선이 나올 것. 혹은 두 점에서만 홀수 개의 선이 나와야 한다. 쾨니히스베르크 다리를 도형화한 것을 보면 모든 점에서 선이 홀수 개 나오기 때문에 한붓그리기는 불가능하다. 한붓그리기가 가능한 도형에는 ‘오일러 그래프(오일러 회로)’와 ‘준 오일러 그래프(오일러 경로)’가 있다.

47 한붓그리기가 가능한 도형, 오일러 그래프란?

0.9999…처럼 소수점 이하 9가 무한으로 반복되는 순환소수는 1보다도 작은 수 같다. 하지만 수학에서는 1=0.9999…다. 왜 그럴까? 1/3을 소수로 나타내면 0.3333…으로, 소수점 이하 3이 무한으로 반복된다. 이것을 2배 하면 2/3=0.6666…이 된다. 3배 하면 3/3=0.9999…가 되어야 하지만, 3/3=1이다. 따라서 1=0.9999…라고 설명할 수 있다.

49 1>0.9999…가 아니라, 1=0.9999…가 맞다?

카드는 같은 모양의 카드가 13장씩 총 52장 있다. 여기서 5장을 꺼내 순서대로 나열하는 방법은 52×51×50×49×48=3,1187,5200가지. 하지만, 꺼낸 5장은 순서에 상관없는 조합이다. 5장의 카드 조합은 120가지다. 즉, 52장에서 5장을 선택해 조합하는 것은 3,1187,5200÷120=259,8960가지다.

55 로열 스트레이트 플러시가 나올 확률은?

실은 음악과 수학은 밀접한 관계가 있다. 고대 그리스 수학자 피타고라스는 ‘도레미파솔라시도’ 음계에 숨겨진 수학적 법칙을 발견했다. 기타 등의 현을 튕길 때, 현의 길이를 2/3로 하면 음이 5도 높아지고, 현의 길이를 절반으로 하면 1옥타브 높은음이 된다. 즉, ‘도’ 음을 내는 현의 길이를 2/3로 하면 ‘솔’이 되고, 1/2로 하면 높은 ‘도’가 된다. 이 법칙을 ‘피타고라스 음률’이라고 부른다.

59 도레미파솔라시도는 숫자로 만들어졌다?

눈의 결정은 아름다운 육각형 형태다. 눈의 결정을 비롯해 뭉게구름, 복잡하게 갈라진 나무, 리아스 해안선, 인간의 혈관, 번개의 섬광의 한 ‘부분’을 확대해 살펴보면 ‘전체’와 같은 모양이 반복되어 나타나는 구조라는 것을 알 수 있다. 이 성질을 자기 유사성이라고 부르고, 이런 도형을 프랙탈 도형이라고 한다. 자연계에는 프랙탈 도형이 많은데 ‘아무리 크게 해도 복잡한 형태’가 되는 것이 특징이다.

61 부분과 전체가 같은 모양? 프랙탈 도형이란?

입체도형에서는 ‘구멍의 수가 분류의 기준’이 된다. 예를 들어, 손잡이가 달린 컵과 도넛은 ‘구멍이 하나다’라는 공통점이 있고, 컵을 점토처럼 늘리고 줄이면 도넛 형태가 되기 때문에 같다고 분류한다. 하지만 손잡이가 두 개인 냄비는 구멍이 두 개 있기 때문에 다른 형태로 분류된다.

66 컵과 도넛이 같다? 위상수학 생각