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이차방정식의 근의 공식이 가지는 의미는, 이후에 다룰 허수까지 포함하여 ‘이차방정식은 반드시 해가 존재하고, 그 값을 구체적으로 구할 수 있다’는 것을 보장한다는 데 있다. 일반적으로 수학에서의 문제는 풀 수 있는지 없는지 알 수 없다. 하지만 이차방정식은 근의 공식이 있으므로 반드시 풀 수 있다는 것을 알 수 있다.
대학교에서 수학을 배우면 ‘존재성’과 ‘유일성’이라는 개념을 접하게 된다. 즉 해가 존재하는지(존재성), 어떤 방식을 사용해도 얻어지는 해는 한 가지뿐인지(유일성)가 중요하다. 그렇게 중요한 개념인 ‘존재성’과 ‘유일성’을 모두 담고 있는 것이 ‘이차방정식의 근의 공식’이다.
_제4장 ‘06. 근의 공식, 판별식, 켤레’
데카르트가 좌표평면이라는 개념을 생각해낼 수 있었던 것은 ‘벌레’ 덕분이었다. 어느 날 잠에서 깬 데카르트는 천장에 붙어 있는 벌레를 보고, 친구에게 벌레의 위치를 어떻게 표현해야 제대로 전달할 수 있을지 고민했다. 그리고 구석에서 오른쪽으로 4, 위로 3인 위치에 벌레가 있다고 표현하면 상대방이 이해할 수 있을 것이라고 생각했다.
_제5장 ‘01. 좌표평면(데카르트 평면)’
연역법은 전제 또는 일반적인 법칙과 구체적인 사실을 이용하여 결론을 도출해내는 방법이다. 대표적인 예로는 삼단논법이 있다. 예를 들어 전제 또는 일반적인 법칙을 ‘인간(B)은 언젠가 죽는다(C)’라고 하자. 구체적인 사실은 ‘소크라테스(A)는 인간(B)이다’라고 하면, 결론은 ‘소크라테스(A)는 언젠가 죽는다(C)’가 된다.
_제7장 ‘07. 연역법과 귀납법’
여러 개의 대상 중에서 ‘순서를 고려하지 않고 뽑아서’ 한 묶음으로 만들 때 그것 하나하나를 조합이라고 한다. 순서를 고려하지 않기 때문에, 예를 들어 ‘A와 B’를 뽑은 경우와 ‘B와 A’를 뽑은 경우는 같은 것으로 본다. 즉 ‘초밥을 좋아하는 사람은 A와 B이다’와 ‘초밥을 좋아하는 사람은 B와 A이다’는 같은 뜻이다.
_제8장 ‘04. 같은 것을 포함하는 순열과 조합(C)’
최근에는 데이터의 중요성이 날로 증가하고 있는데, 데이터를 적절하게 활용할 수 있도록 우리 가까이에서 도움을 주는 것이 통계학이다. 예를 들어 시험 점수와 같은 숫자 데이터를 그냥 보는 것만으로는 그 데이터의 특징을 이해하기 어렵다. 그래서 주어진 데이터로 최고 점수, 평균 점수를 구하기도 하고, 필요에 따라 편차치를 구하기도 하며, 시험의 합격, 불합격을 결정하는 등 의미 있는 숫자로 만드는 것이다. 즉 통계는 단순한 데이터를 가치 있고 의미 있는 정보로 만드는 일이라고 볼 수 있다.
_제9장 ‘01. 기술통계와 추론통계’
미분의 바탕이 되는 것은 나눗셈이고, 나눗셈의 바탕이 되는 것은 뺄셈이다. 그렇기 때문에 미분은 ‘차이’를 구할 때에 유용하다. 고등학교 수학에서는 미분을 이용하여 증가와 감소를 알아내고 그래프를 그리는데, 그것은 미분을 함으로써 차이를 알 수 있기 때문에 가능한 것이다.
_제10장 ‘02. 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수’
과거 일본의 대학교 입학시험에서는 내접하는 사각형을 이용한 삼각비 문제가 자주 출제되었다. 내접하는 사각형은 기초적인 문제뿐만 아니라, 보조선을 활용하는 응용 문제로도 출제할 수 있어서 폭넓은 학습 능력을 측정하는 시험에 적절한 소재였을 것이다. 하지만 보조선을 활용하는 기술을 익히는 것은 쉬운 일이 아니다. 게다가 시험처럼 긴장감 때문에 평소 실력을 발휘하기 힘든 상황에서는 더욱 어렵게 느껴질 것이다. 그럴 때 우리는 특별한 비법이나 요령에 의지하고 싶어지는데, 내접하는 사각형에 관련된 문제에 응용하기 좋은 정리가 하나 있다. 바로 톨레미(프톨레마이오스)의 정리이다.
_제12장 ‘06. 톨레미의 정리’ |
